高三数学题100道,最难的（突破高三数学难关：100道最难数学题解析）

2024-10-24 11:28:490 评论355 阅读

导语：突破高三数学难关：100道最难数学题解析第一部分：高等代数难度系数：★★★★★1.已知$n$为自然数且$n^2+n+41$为质数，证明$n˂41$.2.对于方程$x^n-ax^{n-1}+bx^{n-2}+\\cdots...

突破高三数学难关：100道最难数学题解析

第一部分：高等代数

难度系数：★★★★★

1. 已知 $n$ 为自然数且 $n^2+n+41$ 为质数，证明 $n<41$.2. 对于方程 $x^n - ax^{n-1}+bx^{n-2}+\\cdots+z=0$，已知最大的实根为 $x_1=a$，求 $\\dfrac{\ext{max}\\{b,c,\\cdots,z\\}}{a}$ 的取值范围.3. 对于正整数 $n$，设 $d_1,d_2,\\cdots,d_k$ 是 $n$ 的所有正因数，设 $S=d_1+d_2+\\cdots+d_k$，证明 $S第二部分：数论

难度系数：★★★★

1. 若 $n\\in\\mathbb{N}^+$，且 $\\sqrt{n}+\\sqrt{n+1}\\in\\mathbb{Q}$，证明 $n$ 是完全平方数.2. 已知 $p$ 为素数，$a,b$ 为正整数，且 $a^2+b^2=p$，求 $a$ 和 $b$ 的值.3. 对于自然数 $n$，设 $d(n)$ 表示 $n$ 的正因数个数，$S(n)$ 表示 $n$ 的正因数和，若对于 $n\\ge 2$，都有 $\\dfrac{S(n)}{n}>\\dfrac{S(n-1)}{n-1}$，求最小的满足条件的 $n$.4. 给定一个正整数 $n$，设 $f(n)$ 表示 $n$ 的二进制下最高位是 $1$ 的位数. 令 $g(n)=\ext{lcm}(1,2,\\cdots,n)$，证明对于所有 $n\\ge 1$，均有 $\\dfrac{g(n)}{2^{f(n)}}\\mid n$，且 $\\dfrac{n}{\\dfrac{g(n)}{2^{f(n)}}}$ 是奇数.5. 对于自然数 $n$，设 $p_n$ 表示第 $n$ 个质数，证明 $\\prod_{i=1}^{\\infty}\\dfrac{p_i}{p_i-1}$ 是发散的.6. 已知 $n$ 是一个自然数且 $2^{n-1}\\mid n^2+1$，求所有可能的 $n$ 值.7. 对于任意 $n\\in\\mathbb{N}^+$，设 $S(n)$ 表示 $n$ 的各位数字的立方和之和. 证明：存在无穷多个自然数 $n$，使得 $n\mid S(n)$.8. 设 $a,b,c$ 为正整数，且满足 $\\gcd(a,b,c)\\mid ab+bc+ca$，证明 $\\gcd(a,b,c)$ 的值只能是 $1$ 或 $2$.9. 已知质数 $p$，对于正整数 $a,b$，且满足 $a^p+b^p=kp$，其中 $k$ 为正整数，证明 $p^2\\mid ab$.10. 若 $a,b$ 为正整数，且满足 $\\dfrac{a+b}{ab+1}\\in\\mathbb{N}$，证明 $ab$ 是一个完全平方数.

第三部分：几何

难度系数：★★★

1. 已知 $\riangle ABC$ 中有 $AB=AC$，$D$ 为 $BC$ 的中点，$E$ 为 $AD$ 的垂足. 若 $\\angle BAE=\\alpha$，证明 $\\cos\\alpha=\\dfrac{b+c}{2a}$.2. 在正方形 $ABCD$ 中，$M$，$N$ 分别为线段 $BC$，$CD$ 的中点，$\\overline{MN}$ 与 $\\overline{AB}$ 相交于 $P$，$\\overline{MN}$ 与 $\\overline{AD}$ 相交于 $Q$，求证：$BP=QD$.3. 已知 $\riangle ABC$ 中，$AD,BE,CF$ 为角平分线，$D,E,F$ 均在 $ABC$ 边上. 若 $AF+BD+CE=2AB+2BC$，求 $\\dfrac{AB+AC+BC}{BC}$ 的值.4. 已知 $\riangle ABC$，$D,E$ 分别位于 $AB$，$AC$ 上，$\\angle BDC=\\angle CBE$，$P,Q$ 分别为 $BD,EC$ 上的点，使得 $BP=CQ$，$M$ 为 $PQ$ 的中点，证明 $DE\\parallel AM$.5. $\riangle ABC$ 中，$M$ 为线段 $\\overline{BC}$ 上的动点，$\\omega_1,\\omega_2$ 分别是以 $MB$，$MC$ 为直径的圆. 若 $\\omega_1,\\omega_2$ 与 $\\odot ABC$ 相交于 $P$（$P\e C$），$PM$ 与 $\\odot ABC$ 相交于 $Q$（$Q\e P$），求证：$QM=MB$.6. 已知 $\\odot O$ 与 $\\odot I$ 分别是 $\riangle ABC$ 的外切圆和内切圆. 若 $\\odot O$ 与 $\\odot I$ 分别与 $\\odot M$ 和 $\\odot N$ 相切. 证明 $M,N,I$ 共线.7. 已知 $\riangle ABC$ 中，$E$，$F$ 分别是 $\\overline{AC}$，$\\overline{AB}$ 的中点，$D$ 是 $\\overline{EF}$ 上的点，且满足 $\\angle ADC=\\angle BAC$. 若 $\\overline{BE}$ 与 $\\overline{CF}$ 相交于 $H$，求证：$AH\\parallel BC$.8. 在 $\riangle ABC$ 中，$\\angle C=60^{\\circ}$，$O$ 为 $\\odot ABC$ 的圆心. 作 $\\angle ABD=\\angle ACE=90^{\\circ}$，设交点分别为 $D,E$，$H$ 为垂足于 $O$，满足 $\\angle BHA=90^{\\circ}$，若点 $M$ 为 $\\overline{DE}$ 上的动点，则 $B,H,M$ 三点共线.9. 已知 $E,F$ 分别是 $\riangle ABC$ 中 $\\overline{AC},\\overline{AB}$ 上的点，$AH,BK$ 分别是 $\riangle ABC$ 中 $\\overline{BC},\\overline{CA}$ 的高，交点为 $P$，求证：若 $CP\\perp EF$，则 $\\angle EPK=\\angle FHK$.10. 设 $\riangle ABC$ 中，$\\angle A=60^{\\circ}$，$O$ 为 $\\odot ABC$ 的圆心，$D,E$ 分别为 $\\overline{BC}$ 上一点，以及 $\\odot BOC$ 与 $\\odot COA$ 的另一个交点. 若 $P$ 为 $\\overline{BE}$ 与 $\\overline{AD}$ 的交点，$Q$ 为 $\\overline{CE}$ 与 $\\overline{AD}$ 的交点，求证：$\\angle BAO=\\angle CAP$.

高三数学题100道,最难的（突破高三数学难关：100道最难数学题解析）