云师大附中2023高三联考数学答案解析

第一部分：必修一

在必修一部分，我们主要考察了初中阶段的数学知识点，包括函数、解析几何和三角函数等。整体难度适中，分析题最多，需要考生有较强的解题能力和思考逻辑。具体来看，以下是部分题目的解答：1.已知函数$f(x)=\\sqrt{x^2+2x+2}-\\sqrt{x^2-2x+2}$，求$f(x)$的值域。解：首先要注意$f(x)$的一个性质，即当$x<0$时，$f(x)$值域为$[2,+\\infty)$；当$x>0$时，$f(x)$值域为$[0, 2)$。因此，我们只需要找到$f(x)$的零点，即可得到整个函数的值域。通过化简$f(x)$，可以得到$f(x)=\\dfrac{4}{\\sqrt{x^2+2x+2}+\\sqrt{x^2-2x+2}}$。令$\\sqrt{x^2+2x+2}=t$，则$\\sqrt{x^2-2x+2}=\\sqrt{t^2-4}$。代入原式，得到$f(x)=\\dfrac{2}{\\sqrt{t^2-1}}$。由此可得，$t\\geqslant\\sqrt{2}$时，$f(x)\\in[0, 2)$；$t>\\sqrt{2}$时，$f(x)\\in(2, +\\infty)$。综上所述，$f(x)$的值域为$[0, 2)\\cup(2, +\\infty)$。2.已知椭圆$\\dfrac{x^2}{a^2}+\\dfrac{y^2}{b^2}=1$与直线$y=kx$相交于点$P$和点$Q$，则$\\dfrac{1}{OP^2}+\\dfrac{1}{OQ^2}$的最小值为多少？解：由于椭圆和直线的交点$P$和$Q$在同一椭圆上，所以可以构造向量$\\overrightarrow{OP}$和$\\overrightarrow{OQ}$，使$P(x_0, kx_0)$，$Q(x_1, kx_1)$。则向量$\\overrightarrow{OP}=(x_0, kx_0)$，向量$\\overrightarrow{OQ}=(x_1, kx_1)$。由于椭圆的对称性，$P$和$Q$关于椭圆中心对称，所以椭圆中心$O$为$P$和$Q$的中点，即$O(\\dfrac{x_0+x_1}{2}, \\dfrac{kx_0+kx_1}{2})$。因此，$\\overrightarrow{OP}=\\dfrac{1}{2}(\\overrightarrow{OP}+\\overrightarrow{OQ})$，$\\overrightarrow{OQ}=\\dfrac{1}{2}(\\overrightarrow{OP}+\\overrightarrow{OQ})$。则有：$$\\begin{cases}x_0=\\dfrac{x_1}{2}+\\dfrac{a^2k}{\\sqrt{a^2k^2+b^2}}, \\\\x_1=\\dfrac{x_0}{2}-\\dfrac{a^2k}{\\sqrt{a^2k^2+b^2}}. \\\\\\end{cases}$$代入$\\dfrac{1}{OP^2}+\\dfrac{1}{OQ^2}$，得到：$$\\dfrac{1}{OP^2}+\\dfrac{1}{OQ^2}=\\dfrac{4a^2k^2+b^2}{4a^4k^2+4a^2b^2}.$$令$t=a^2k^2+b^2$，则$\\dfrac{1}{OP^2}+\\dfrac{1}{OQ^2}=\\dfrac{4t}{4a^2t+4a^2b^2}=\\dfrac{t}{a^2t+a^2b^2}=\\dfrac{t}{a^2t+(ab)^2-ab^2}$. 根据$AM-GM$不等式，可得：$$\\dfrac{t}{a^2t+(ab)^2-ab^2}\\geqslant\\dfrac{2\\sqrt{ab}\\sqrt{t}}{a^2\\sqrt{ab}\\sqrt{t}+(ab)^2-ab^2}.$$等号成立时，$t=ab\\sqrt{ab}$，即$k=\\dfrac{\\sqrt{ab}}{a}$。代入原式，得到$\\dfrac{1}{OP^2}+\\dfrac{1}{OQ^2}\\geqslant\\dfrac{8}{3ab}$，等号在$k=\\dfrac{\\sqrt{ab}}{a}$时成立。因此，当$k=\\dfrac{\\sqrt{ab}}{a}$时，$\\dfrac{1}{OP^2}+\\dfrac{1}{OQ^2}=\\dfrac{8}{3ab}$。

第二部分：必修二

必修二部分主要考察了高中数学的基础知识点，包括导数、积分和三角函数等。整体难度较高，需要考生熟练掌握各类题型的解题方法。具体来看，以下是部分题目的解答：1.已知$f(x)=\\ln x+\\dfrac{2x}{x+1}$，则$f'(x)=0$的解的个数为多少？解：$f'(x)=\\dfrac{x}{x+1}-\\dfrac{2x}{(x+1)^2}=\\dfrac{x(x-2)}{(x+1)^2}$。因此，$f(x)$在$x\\in(-\\infty, -1)\\cup(0, 2)$上单调递增，在$x\\in(-1, 0)\\cup(2, +\\infty)$上单调递减。$f(x)$的导函数$f'(x)$在$x=0$时不存在，在$x=-1$和$x=2$处分别为$-\\dfrac{1}{4}$和$\\dfrac{4}{9}$。因此，$f'(x)=0$的解的个数为$2$。2.已知$\\displaystyle\\int_1^4\\dfrac{f'(x)}{x}dx=2\\ln 2$，且$f(1)=1$，则$\\displaystyle\\int_1^4f(x)dx$的值为多少？解：利用分部积分公式，可以将$\\displaystyle\\int_1^4\\dfrac{f'(x)}{x}dx$写成$[f(x)\\ln x]_1^4-\\displaystyle\\int_1^4\\dfrac{f(x)}{x^2}dx$的形式。由于$f(1)=1$，所以$f(x)\\ln x\\big|_1^4=f(4)\\ln 4-f(1)\\ln 1=4f(4)$。因此，\\begin{align*}\\displaystyle\\int_1^4f(x)dx&=\\displaystyle\\int_1^4f(x)dx-\\displaystyle\\int_1^4\\dfrac{f(x)}{x^2}dx+\\displaystyle\\int_1^4\\dfrac{f'(x)}{x}dx \\\\&=\\displaystyle\\int_1^4\\dfrac{xf(x)-f(x)}{x^2}dx+\\displaystyle\\int_1^4\\dfrac{f'(x)}{x}dx \\\\&=\\displaystyle\\int_1^4\\dfrac{(x-1)f(x)}{x^2}dx+\\displaystyle\\int_1^4\\dfrac{f'(x)}{x}dx \\\\&=[-\\dfrac{f(x)}{x}+\\ln x]_1^4 \\\\&=\\dfrac{f(1)}{1}-\\dfrac{f(4)}{4}+\\ln 4 \\\\&=\\dfrac{3}{4}+\\ln 4-2\\ln 2 \\\\&=\\dfrac{1}{4}+\\ln 2.\\end{align*}因此，$\\displaystyle\\int_1^4f(x)dx=\\dfrac{1}{4}+\\ln 2$。

第三部分：选修

选修部分考察了高中阶段的拓展知识点，包括数列、概率统计和向量等。整体难度较高，需要考生综合运用多种知识点进行分析。具体来看，以下是部分题目的解答：1.设数列$\\{a_n\\}$满足$a_1=1$，$a_n=na_{n-1}+n^2$（$n\\geqslant 2$），则$\\dfrac{a_{101}}{101!}$的末两位数字是多少？解：根据递推公式$a_n=na_{n-1}+n^2$，可以得到$a_n=n!+n\imes(n-1)!2+n(n-1)(n-2)!6+\\cdots+n(n-1)(n-2)\\cdots 2\imes 1+n!2^{n-2}$。因此，$a_{101}=101!+101\imes 100!2+101\imes 100\imes 99\imes\\cdots\imes 3\imes 2\imes 1\imes 2^{99}$。将$a_{101}$化成$101!$的形式，得到$a_{101}=101!(2^{99}+101\imes 2\imes 3\imes\\cdots\imes 99)$. 因此，$\\dfrac{a_{101}}{101!}=2^{99}+101\imes 2\imes 3\imes\\cdots\imes 99$. 根据数位计算的方法，$101\imes 2\imes 3\imes\\cdots\imes 99$的末两位数字为$24$。因此，$\\dfrac{a_{101}}{101!}$的末两位数字为$24$。2.某公司有$5$名员工，其中$2$名会吹口哨，$3$名会跳舞。现任选出$3$名员工，每名员工只能担任一项任务。则至少有$1$名员工既会吹口哨又会跳舞的概率是多少？解：在$5$个员工中任选$3$个员工，共有$C_5^3=10$种选法。由于至少有$1$名员工既会吹口哨又会跳舞，所以我们可以先分别计算只有$1$名和$2$名员工既会吹口哨又会跳舞的情况。 只有$1$名员工既会吹口哨又会跳舞的情况有$C_2^1\imes C_3^2=6$种。在选定的$1$名既会吹口哨又会跳舞的员工中，选出$2$名只会吹口哨或只会跳舞的员工，共有$C_1^1\imes C_2^1=2$种。因此，只有$1$名员工既会吹口哨又会跳舞的概率为$\\dfrac{6\imes 2}{10}=\\dfrac{12}{10}=1.2$。只有$2$名员工既会吹口哨又会跳舞的情况有$C_2^2\imes C_3^1=3$种。在选定的$2$名既会吹口哨又会跳舞的员工中，选出$1$名只会吹口哨或只会跳舞的员工，共有$C_3^1=3$种。因此，只有$2$名员工既会吹口哨又会跳舞的概率为$\\dfrac{3\imes 3}{10}=\\dfrac{9}{10}$。综合两种情况，至少有$1$名员工既会吹口哨又会跳舞的概率为$1.2+0.9=2.1$。

本次联考数学试卷整体难度适中，考查了高中阶段的各类知识点。在备考过程中，要注意强化基础知识的掌握，并注重细节问题的处理。希望广大考生能够有所收获，取得优异的成绩。