Wilson定理——素数的幸运数字

什么是Wilson定理？

Wilson定理是一个有趣的定理，它告诉我们如何判断一个数是否为素数。它是由英国数学家John Wilson在1770年证明的，因此得名为Wilson定理。Wilson定理的表述如下：

其中，p是一个质数，mod p表示与p同余。

接下来，我们将探讨这个定理的证明过程。

Wilson定理的证明

我们从表述中可以发现，Wilson定理涉及到了阶乘、模运算、质数等多个数学概念。因此，我们需要先了解一些相关的数学知识。

（1）阶乘

阶乘是指从1到这个数所有正整数的乘积，用“!”表示，比如5!=5×4×3×2×1=120。

（2）模运算

模运算是指两个数相除后余数的运算。例如，5 mod 2=1，表示5÷2=2余1。

（3）质数

质数是指只能被1和它本身整除的正整数。例如，2、3、5、7等都是质数。

了解这些数学知识后，我们开始证明Wilson定理。

首先，我们有一个性质：

这个性质可以通过枚举p的所有可能取值来验证。

接下来，我们把所有不等于0或p-1的数两两配对，例如1和p-1,2和p-2等等，共有(p-3)对。

我们可以证明，这些数对的乘积mod p的结果为1。

证明如下：

对于一个数x，它的相反数为-p+x。因此，x和-p+x的乘积为x*(-p+x)=-x²+xp，其mod p的值为-x²。

因为我们之前证明了一个性质，即存在一个数x，使得x² ≡ 1 (mod p)。

因此，-x² ≡ -1 (mod p)。

于是，所有不等于0或p-1的数两两配对的乘积mod p的结果为-1。

现在，我们把所有的数相乘起来：

这是因为，所有不等于0或p-1的数实际上就是(p-1)!中的一部分，它们的乘积mod p的结果为-1。

同时，1*2*3*...*(p-2) mod p的结果为一个数y。

因此：

根据前面证明的性质，我们知道，存在一个数z，使得z² ≡ 1 (mod p)。

因此，z*(p-z) ≡ 1 (mod p)。

而(p-3)*(p-5)*...*2*4 mod p的结果也可以表示成(kz)² mod p，其中k=(p-3)/2。

于是，我们得到：

这就是Wilson定理的证明过程。

Wilson定理的应用

Wilson定理有许多应用，其中最为重要的就是判断一个数是否为质数。如果一个数p是质数，那么(p-1)! ≡ -1 (mod p)。反之，如果(p-1)! ≡ -1 (mod p)，那么p可能是一个质数，但不一定，还需要进一步检查。

除此之外，Wilson定理还有其他应用，例如密码学、组合数学等领域。

总结

Wilson定理是一个很有趣的定理，它告诉我们如何判断一个数是否为质数。它的证明过程也非常巧妙，将阶乘、模运算、质数等多个数学概念相结合。Wilson定理还有许多应用，特别是在密码学和组合数学等领域，因此值得我们深入学习和探讨。

数学是一门非常有趣的学科，其中包含着许多美妙的理论和定理。学习数学不仅可以增强我们的思维能力和数学素养，还可以帮助我们更好地理解世界和解决实际问题。希望本文对大家对Wilson定理有更深入的了解和认识。