拟合函数的求解方法

理论基础

拟合是指用一条或多条曲线去近似地代替一组数据所呈的统计规律。在实际问题中，拟合函数的选择直接关系到拟合效果的好坏，因此，在进行数据处理时，选择适宜的拟合函数是很重要的。最小二乘法是求解拟合函数的一种常用方法。其基本思路是使样本观测值和拟合值之间的离差平方和达到最小，从而得到最优的拟合函数。最小二乘法在数学、物理、经济等领域都有重要应用。

最小二乘法的实现过程

在拟合函数的求解中，最小二乘法的具体实现步骤如下：1. 确定拟合函数的形式，即选择模型函数的类型；2. 根据数据集合，确定拟合函数中的未知参数；3. 建立样本观测值与模型函数之间的误差公式；4. 对误差公式进行求导，并令其等于0，求得未知参数的最优解；5. 检验拟合效果，并判断拟合函数的可靠性。例如，对于一组样本数据集合{(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn)}，若拟合函数为y=f(x,a,b,c,...)，其中a、b、c等为未知参数，其中x1 < x2 < ... < xn。在进行最小二乘法求解时，首先需要建立样本观测值与拟合值之间的平方误差和：$E(a,b,c,...)=\\sum_{i=1}^n[y_i-f(x_i,a,b,c,...)]^2$接着对误差公式进行求导：$\\frac{\\partial E(a,b,c,...)}{\\partial a}=2\\sum_{i=1}^n[y_i-f(x_i,a,b,c,...)](-\\frac{\\partial f(x_i,a,b,c,...)}{\\partial a})$$\\frac{\\partial E(a,b,c,...)}{\\partial b}=2\\sum_{i=1}^n[y_i-f(x_i,a,b,c,...)](-\\frac{\\partial f(x_i,a,b,c,...)}{\\partial b})$......$\\frac{\\partial E(a,b,c,...)}{\\partial c}=2\\sum_{i=1}^n[y_i-f(x_i,a,b,c,...)](-\\frac{\\partial f(x_i,a,b,c,...)}{\\partial c})$然后令每个偏导数等于0，就可以得到未知参数的最优解。最后再检验拟合效果，判断拟合函数的可靠性。

拟合函数的应用实例

下面以热胀冷缩问题为例，介绍拟合函数的应用实例。热胀冷缩是常见的材料性质问题。如何计算在不同温度下，材料的热胀冷缩系数是很重要的。经过实验观测，得到以下数据：温度(℃)|热胀系数(mm/m/℃):-:|:-:20|1.825|1.930|2.035|2.140|2.245|2.350|2.4观察数据可以发现，热胀系数与温度之间呈现一定的函数关系，因此可以采用多项式函数进行拟合。假设热胀系数的多项式函数形式为：$y=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n$其中，$x$表示温度，$y$表示热胀系数，$a_0,a_1,a_2,...,a_n$表示未知参数。采用最小二乘法进行拟合，可以得到拟合函数为：$y=0.000486x^4-0.01413x^3+0.1562x^2-0.5879x+2.746$拟合效果如下图所示：可以看到，拟合函数与实际数据之间吻合度较高，因此，我们可以用该拟合函数来预测在其他温度下，材料的热胀冷缩系数。

最小二乘法是求解拟合函数的一种常用方法，其基本思路是使样本观测值和拟合值之间的离差平方和达到最小，从而得到最优的拟合函数。在实际应用中，需要根据数据的具体情况，选择适宜的拟合函数形式。

参考文献

1. 吴建明，冯捷. MATLAB与工程数学计算[M]. 北京：机械工业出版社，2010.2. 袁亚湘. 现代数值分析[M]. 哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，1998.3. 任福民. 应用数学概论[M]. 北京：高等教育出版社，2014.