施瓦兹空间在 L2 空间的稠密性证明

导言

在数学分析中，我们经常需要证明某些空间的稠密性。施瓦兹空间（Schwartz Space）在许多分析问题中都扮演着重要的角色，并被广泛应用于偏微分方程及调和分析等领域。本文将证明施瓦兹空间在 L2 空间中的稠密性。

定义与基本性质

施瓦兹空间 $\\mathcal{S}(\\mathbb{R}^n)$ 定义为所有样条函数（即可以表示为有限阶导数的线性组合），使其以及所有阶数的所有导数在 $\\mathbb{R}^n$ 上下降速度足够快，具体而言，若 $f\\in\\mathcal{S}(\\mathbb{R}^n)$，则对于任意的 $m,n\\in\\mathbb{N}^n$，有$$|x^m\\partial^n f(x)| \\leqslant C_{m,n}(1+|x|)^{-N}$$其中 $N,n$ 和 $m$ 取值满足一定条件。施瓦兹空间的关键性质是：施瓦兹空间关于傅里叶变换是完备的。

证明施瓦兹空间在 L2 空间中的稠密性

我们要证明的是：对于任意 $f\\in L^2(\\mathbb{R}^n)$，存在一列 $\\{\\varphi_n\\}\\subset\\mathcal{S}(\\mathbb{R}^n)$ 使得 $\\varphi_n\o f$ 在 L2 意义下成立。我们将证明分为四步。Step1:对于任意 $f\\in L^2(\\mathbb{R}^n)$，存在一列连续函数 $\\{f_k\\}\\subset C^\\infty(\\mathbb{R}^n)$，使得 $\\lim\\|f_k-f\\|_2=0$。由于 $f\\in L^2(\\mathbb{R}^n)$，故 $f$ 的绝对值平方 $|f|^2$ 是可积的，即 $\\int_{\\mathbb{R}^n}|f|^2<\\infty$。我们可以构造一列平滑截断函数 $\\{g_k\\}$，使得 $g_k\\in C^\\infty_0(\\mathbb{R}^n)$，满足当 $|x|>k$ 时，$g_k(x)=0$。定义 $f_k=g_k*f$，则根据卷积的定义，$f_k$ 是可积的，且 $f_k\\in C^\\infty(\\mathbb{R}^n)$。另外，我们有估计式$$\\|f_k-f\\|_2 \\leqslant \\|g_k*f-f\\|_2+\\|f-g_k*f\\|_2$$右端第一项可以由卷积的性质得到$$\\|g_k*f-f\\|_2^2=\\int_{\\mathbb{R}^n}\\left|\\int_{\\mathbb{R}^n}(g_k(y)-1)f(x-y)\\mathrm{d}y\\right|^2\\mathrm{d}x$$不妨设 $f\\in L^1(\\mathbb{R}^n)$，则根据卷积的性质，有$$\\begin{aligned}\\int_{\\mathbb{R}^n}|g_k(y)-1|&\\left|\\int_{\\mathbb{R}^n}f(x-y)\\mathrm{d}x\\right|\\mathrm{d}y \\\\&\\leqslant \\int_{|y|\\leqslant k}|g_k(y)-1|\\int_{\\mathbb{R}^n}|f(x-y)|\\mathrm{d}x\\mathrm{d}y+\\int_{|y|> k}|g_k(y)-1|\\int_{\\mathbb{R}^n}|f(x-y)|\\mathrm{d}x\\mathrm{d}y\\end{aligned}$$由于 $g_k$ 在 $|y|> k$ 时为 $0$，故$$\\begin{aligned}\\int_{|y|> k} & |g_k(y)-1|\\int_{\\mathbb{R}^n}|f(x-y)|\\mathrm{d}x\\mathrm{d}y \\\\& \\leqslant\\int_{|y|> k}|g_k(y)|\\int_{\\mathbb{R}^n}|f(x)|\\mathrm{d}x\\mathrm{d}y \\\\& = \\int_{\\mathbb{R}^n}|f(x)|\\int_{|y|>k}|g_k(y)|\\mathrm{d}y\\mathrm{d}x \\\\& \\leqslant \\int_{\\mathbb{R}^n}|f(x)|\\varepsilon_k\\mathrm{d}x\o 0\\end{aligned}$$其中 $\\varepsilon_k=\\int_{|y|>k}|g_k(y)|\\mathrm{d}y$ 并满足 $\\lim\\varepsilon_k=0$。类似地，第二项也可以得到 $\\lim\\|f-g_k*f\\|_2=0$。这样，我们就证明了 Step 1。Step 2:对于任意 $f\\in L^2(\\mathbb{R}^n)$，存在一列 $\\{f_k\\}\\subset C^\\infty(\\mathbb{R}^n)$，使得 $\\lim\\|f_k-f\\|_2=0$，且 $\\lim\\|\\widehat{f_k}-\\widehat{f}\\|_2=0$。显然，只需要在 Step 1 的基础上证明 $\\lim\\|\\widehat{f_k}-\\widehat{f}\\|_2=0$ 即可。由于 $f\\in L^2(\\mathbb{R}^n)$，故其傅里叶变换 $\\widehat{f}$ 也是可积的，即 $\\int_{\\mathbb{R}^n}|\\widehat{f}|^2<\\infty$。我们仍然可以构造一列平滑截断函数 $\\{g_k\\}$，使得 $g_k\\in C^\\infty_0(\\mathbb{R}^n)$，满足当 $|x|>k$ 时，$g_k(x)=0$。定义 $f_k=g_k*f$，则也有 $\\widehat{f_k}=\\widehat{g_k}\\widehat{f}$。此时，我们有估计式$$\\begin{aligned}\\|\\widehat{f_k}-\\widehat{f}\\|_2 &= \\left(\\int_{\\mathbb{R}^n}|\\widehat{g_k}-1|^2|\\widehat{f}|^2\\right)^{\\frac{1}{2}} \\\\&\\leqslant \\left(\\int_{|y|\\leqslant k}|\\widehat{g_k}-1|^2\\mathrm{d}y\\right)^{\\frac{1}{2}}\\left(\\int_{\\mathbb{R}^n}|\\widehat{f}|^2\\right)^{\\frac{1}{2}}+\\left(\\int_{|y|> k}|\\widehat{g_k}|^2|\\widehat{f}|^2\\right)^{\\frac{1}{2}} \\\\& = I+II\\end{aligned}$$右端第一项由傅里叶变换的性质容易得到$$\\begin{aligned}I &=\\left(\\int_{|y|\\leqslant k}|\\widehat{g_k}-1|^2\\mathrm{d}y\\right)^{\\frac{1}{2}}\\left(\\int_{\\mathbb{R}^n}|\\widehat{f}|^2\\right)^{\\frac{1}{2}} \\\\& = \\left(\\int_{\\mathbb{R}^n}|\\widehat{g_k}-1|^\\frac{4}{3}\\right)^{\\frac{3}{4}}\\left(\\int_{\\mathbb{R}^n}\\frac{|\\widehat{f}|^2}{1+|\\cdot|^2}\\right)^{\\frac{1}{2}} \\\\& \\leqslant M_1\\|f\\|_2\\end{aligned}$$其中 $M_1$ 是某个常数。右端第二项便可以由 Young 不等式得到$$\\begin{aligned}II &= \\left(\\int_{|y|> k}|\\widehat{g_k}|^2\\mathrm{d}y\\right)^\\frac{1}{2} \\left(\\int_{\\mathbb{R}^n}|\\widehat{f}|^2\\mathrm{d}x\\right)^\\frac{1}{2} \\\\& \\leqslant \\left(\\int_{\\mathbb{R}^n}\\frac{|\\widehat{f}|^2}{1+|\\cdot|^2}\\right)^{\\frac{1}{2}}\\left(\\int_{|y|> k}\\frac{|g_k(y)|^2}{1+|y|^2}\\mathrm{d}y\\right)^\\frac{1}{2} \\\\& \\leqslant M_2\\varepsilon_k\\|f\\|_2\\end{aligned}$$其中 $M_2$ 是某个常数。由 $\\lim\\varepsilon_k=0$ 可得，$\\lim\\|\\widehat{f_k}-\\widehat{f}\\|_2=0$。这样我们就证明了 Step 2。Step 3:对于任意 $f\\in L^2(\\mathbb{R}^n)$，存在一列 $\\{\\varphi_n\\}\\subset\\mathcal{D}(\\mathbb{R}^n)$，使得 $\\|\\varphi_n-f\\|_2\o 0$。这个结论可以通过使用傅里叶变换和 Step 2 证得，具体而言，令 $f_k\\in C^\\infty(\\mathbb{R}^n)$ 同 Step 2，定义 $\\varphi_n=\\mathcal{F}^{-1}(f_k\\widehat{\\varphi_n})$，其中 $\\widehat{\\varphi_n}$ 是一个光滑的截断函数，满足 $\\widehat{\\varphi_n}=1$ 当 $|\\widehat{\\varphi_n}|\\leqslant n$。根据 Riemann-Lebesgue 引理，有 $\\lim_{|\\xi|\o\\infty}\\widehat{\\varphi_n}(\\xi)=0$，故 $\\varphi_n\\in\\mathcal{D}(\\mathbb{R}^n)$，并且 $\\lim\\|\\varphi_n-f\\|_2=0$。Step 4:存在一列 $\\{\\varphi_n\\}\\subset\\mathcal{S}(\\mathbb{R}^n)$ 使得 $\\|\\varphi_n-f\\|_2\o 0$。由于 $\\mathcal{S}(\\mathbb{R}^n)$ 是关于傅里叶变换完备的，故对于任意 $\\varphi_n\\in\\mathcal{D}(\\mathbb{R}^n)$，都存在一列 $\\{\\varphi_{n,k}\\}_{k\\in\\mathbb{N}}\\subset\\mathcal{S}(\\mathbb{R}^n)$ 使得 $\\lim\\|\\varphi_{n,k}-\\varphi_n\\|_2=0$。则对于任意 $f\\in L^2(\\mathbb{R}^n)$，根据 Step 3 可以找到一列 $\\{\\varphi_n\\}\\subset\\mathcal{D}(\\mathbb{R}^n)$ 使得 $\\|\\varphi_n-f\\|_2\o 0$。进而，对于任意 $\\varepsilon>0$，存在 $N_1$ 使得当 $n>N_1$ 时，$\\|\\varphi_n-f\\|_2<\\dfrac{\\varepsilon}{2}$。又由于 $\\{\\varphi_{n,k}\\}_{k\\in\\mathbb{N}}$ 是关于 $\\|\\cdot\\|_2$ 的 Cauchy 列，故存在 $N_2$ 使得当 $n,m>N_2$ 时，$\\|\\varphi_{n,k}-\\varphi_{m,k}\\|_2<\\dfrac{\\varepsilon}{2}$。则当 $n>\\max\\{N_1,N_2\\}$ 时，有$$\\begin{aligned}\\|\\varphi_{n,k}-f\\|_2 &\\leqslant\\|\\varphi_{n,k}-\\varphi_n\\|_2+\\|\\varphi_n-f\\|_2 \\\\&< \\frac{\\varepsilon}{2}+\\frac{\\varepsilon}{2} \\\\&= \\varepsilon\\end{aligned}$$即 $\\{\\varphi_{n,k}\\}_{k\\in\\mathbb{N}}$ 是关于 $\\|\\cdot\\|_2$ 的 Cauchy 列，且收敛于某个 $g\\in L^2(\\mathbb{R}^n)$。根据 L2 意义下的傅里叶反演公式，我们知道 $\\mathcal{F}(g)$ 仍是一个可积函数，故根据 Step 2，便可得出 $\\lim\\|\\widehat{\\varphi_{n,k}}-\\widehat{g}\\|_2=0$。利用 Poisson's Summation Formula 可以得到$$\\varphi_{n,k}(x)-g(x)=\\sum_{k\\in\\mathbb{Z}^n}\\Delta_{in}\\widehat{\\varphi_{n,k}}(2\\pi k)e^{2\\pi ik\\cdot x}$$其中 $\\Delta_{in}$ 表示 $n$ 维 Laplacian 算子。注意到 $\\{\\Delta_{in}\\widehat{\\varphi_{n,k}}\\}$ 一致有界，且 $\\lim_{|k|\o\\infty}\\Delta_{in}\\widehat{\\varphi_{n,k}}=0$，故可以使用一致收敛的柯西-施瓦茨逼近定理得出 $\\{\\varphi_{n,k}\\}$ 在 $\\mathcal{S}(\\mathbb{R}^n)$ 中的一致逼近，即 $\\lim_{k\o\\infty}\\|\\varphi_{n,k}-g\\|_{\\mathcal{S}}=0$。综上所述，$\\{\\varphi_{n,k}\\}$ 在 $\\mathcal{S}(\\mathbb{R}^n)$ 中一致逼近 $g$。故原命题成立，证毕。

结论

本文证明了施瓦兹空间在 L2 空间中的稠密性，证明过程中使用了卷积、Young 式、傅里叶变换及其反演公式、Poisson's Summation Formula、