欧拉角转四元数

1. 理论基础

欧拉角是描述物体在三维空间中旋转的一种方式，它包含了三个角度：俯仰角、偏航角和翻滚角。欧拉角对应的旋转矩阵可以通过三次旋转的矩阵相乘得到，但是由于万向锁问题，欧拉角存在一些缺陷。四元数是一个具有实部和虚部的扩展复数，可以用来表示旋转。四元数的基础属性是单位四元数，它们既有旋转的作用，又不会被万向锁所困扰。因此，四元数在计算机图形学、机器人学和姿态控制等领域中被广泛应用。欧拉角与四元数之间的转换可以通过旋转矩阵的转换实现，旋转矩阵可以通过四元数来表示。这样，欧拉角就能转化为四元数，从而用四元数来表示物体在三维空间中的旋转。

2. 欧拉角转四元数的步骤

欧拉角转四元数的步骤如下：1. 将欧拉角转换为旋转矩阵。2. 将旋转矩阵转换为四元数。具体来说，对于三个欧拉角（$\heta_{x}$,$\heta_{y}$,$\heta_{z}$）分别对应三个方向的旋转：- 绕x轴旋转$\heta_{x}$角度，旋转矩阵为：$R_{x}=\\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\\\0 & cos\heta_{x} & -sin\heta_{x} \\\\0 & sin\heta_{x} & cos\heta_{x}\\end{bmatrix}$- 绕y轴旋转$\heta_{y}$角度，旋转矩阵为：$R_{y}=\\begin{bmatrix}cos\heta_{y} & 0 & sin\heta_{y} \\\\0 & 1 & 0 \\\\-sin\heta_{y} & 0 & cos\heta_{y}\\end{bmatrix}$- 绕z轴旋转$\heta_{z}$角度，旋转矩阵为：$R_{z}=\\begin{bmatrix}cos\heta_{z} & -sin\heta_{z} & 0 \\\\sin\heta_{z} & cos\heta_{z} & 0 \\\\0 & 0 & 1\\end{bmatrix}$将这三个旋转矩阵相乘，得到总的旋转矩阵：$R=R_{z}R_{y}R_{x}$将旋转矩阵转换为四元数：$q_{w}= \\sqrt{1+trace(R)} /2 \\\\q_{x}= (R_{32}-R_{23})/(4*q_{w}) \\\\q_{y}= (R_{13}-R_{31})/(4*q_{w}) \\\\q_{z}= (R_{21}-R_{12})/(4*q_{w})$$\\sqrt{}$表示开平方，$trace(R)$表示矩阵R的迹，即主对角线上元素之和。这样，我们就得到了欧拉角对应的四元数。

3. 示例

我们以航空器的姿态控制为例，来演示欧拉角转四元数的过程。航空器需要具有5自由度（俯仰、滚转、偏航、向上/向下飞行、向前/向后飞行）。其中，俯仰角（pitch）对应的是绕横轴转动，滚转角（roll）对应绕纵轴转动，而偏航角（yaw）对应绕竖轴旋转。假设当前航空器处于俯仰角为20度，滚转角为30度，偏航角为40度的状态下，我们需要求出航空器对应的四元数。将欧拉角换算成弧度制：$\heta_{x}=20\imes\\pi/180=0.3491 \\\\\heta_{y}=30\imes\\pi/180=0.5236 \\\\\heta_{z}=40\imes\\pi/180=0.6981$按照上述公式，求解旋转矩阵：$R_{x}=\\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\\\0 & cos0.3491 & -sin0.3491 \\\\0 & sin0.3491 & cos0.3491\\end{bmatrix}=\\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\\\0 & 0.9397 & -0.3420 \\\\0 & 0.3420 & 0.9397\\end{bmatrix}$$R_{y}=\\begin{bmatrix}cos0.5236 & 0 & sin0.5236 \\\\0 & 1 & 0 \\\\-sin0.5236 & 0 & cos0.5236\\end{bmatrix}=\\begin{bmatrix}0.8660 & 0 & 0.5000 \\\\0 & 1 & 0 \\\\-0.5000 & 0 & 0.8660\\end{bmatrix}$$R_{z}=\\begin{bmatrix}cos0.6981 & -sin0.6981 & 0 \\\\sin0.6981 & cos0.6981 & 0 \\\\0 & 0 & 1\\end{bmatrix}=\\begin{bmatrix}0.7660 & -0.6428 & 0 \\\\0.6428 & 0.7660 & 0 \\\\0 & 0 & 1\\end{bmatrix}$合并三个旋转矩阵：$R=R_{z}R_{y}R_{x}=\\begin{bmatrix}0.3133 & -0.9143 & 0.2572 \\\\0.7510 & 0.3986 & -0.5260 \\\\0.5813 & 0.0681 & 0.8108\\end{bmatrix}$将旋转矩阵转换为四元数：$q_{w}= \\sqrt{1+trace(R)} /2=0.8246$$q_{x}= (R_{32}-R_{23})/(4*q_{w})=-0.2962$$q_{y}= (R_{13}-R_{31})/(4*q_{w})=0.4563$$q_{z}= (R_{21}-R_{12})/(4*q_{w})=0.1392$因此，这个航空器在当前的状态下对应的四元数为$(0.8246,-0.2962,0.4563,0.1392)$。

欧拉角转四元数是计算机图形学、机器人学等领域中常见的问题，它将欧拉角转换为更为稳定、更易于计算机处理的四元数。在实际应用中，我们可以通过旋转矩阵来实现欧拉角和四元数之间的转换。熟练掌握欧拉角转四元数的方法，可以为我们的工作带来更多便利。