探究Borel-Cantelli引理的相关证明

引言

Borel-Cantelli引理是一个经典的概率论引理。它的核心内容是描述了一种有关概率收敛的性质，常常被用来证明一些概率相关的定理。在许多重要的概率论问题中都有其应用，比如，在随机游走、马尔可夫过程等领域都有相关的应用。本文主要讲述Borel-Cantelli引理的相关证明过程。

Borel-Cantelli引理的陈述

Borel-Cantelli引理通常有两种不同的陈述方式。下面分别来介绍这两种陈述方式。第一种陈述方式： 对于一系列事件$E_n$，若$\\sum\\limits_{n=1}^{\\infty}P(E_n)$是一个有限值，则事件$\\{E_n\\}$只在有限个$E_n$中发生的概率为1。简单的说，也就是如果一系列事件的概率和有限，则这些事件在无限次试验中只有有限个发生的概率是1。第二种陈述方式： 对于一系列事件$E_n$，如果$\\sum\\limits_{n=1}^{\\infty}P(E_n)=\\infty$，则事件$\\{E_n\\}$无论如何发生的概率是0。简单的说，也就是如果一系列事件的概率和为无限，则这些事件在无限次试验中不可能全部发生，发生的概率是0。

Borel-Cantelli引理的证明

接下来，我们将对Borel-Cantelli引理的两种陈述方式进行证明。第一种陈述方式的证明： 对于一些系列事件$E_n$，设定义函数$S_k=\\sum\\limits_{n=1}^{k}E_n$，表示前$k$个事件$E_n$中出现的事件的个数。那么$S_k$就是一个随着$k$的增大而增大的随机变量。因为概率是按照事件发生的次数来计算的，所以$E_n$的出现次数可以表示为$S_k$。现在考虑事件$\\{E_n\\}$在无限次试验中只在有限个$E_n$中发生的概率。也就是，假定有一个整数$k$，使得当$n\\ge k$时，$E_n$都不会再次发生。根据之前的设定，也就是$S_k$表示前$k$个事件$E_n$中出现的事件的个数，因此就有$S_n\\le S_k$，这说明了在前$k$个事件$E_n$中发生的事件的个数大于等于在前$n$个事件$E_n$中出现的事件的个数。因此，概率$P\\{S_n=0\\}$不超过概率$P\\{S_k=0\\}$，这就表明了有限个$E_n$中没有事件发生的概率为1。第二种陈述方式的证明： 同样地，我们设定义函数$S_k=\\sum\\limits_{n=1}^{k}E_n$，表示前$k$个事件$E_n$中出现的事件的个数。根据此前所述，我们已经可以用$S_k$来描述$E_n$的出现次数。现在，对于一个固定的$k$，我们考虑在$k+1$次试验中，$S_{k+1}-S_k$所描述的$E_n$的出现情况。如果$S_k$已经是有限值了，那么$S_{k+1}-S_k$也是一个有限数，因此无论$E_{k+1}$是否出现，$S_{k+1}$都是有限数。而如果$S_k$是无限的，那么$S_{k+1}-S_k$至少为1，因此在$S_{k+1}-S_k>0$的情况下，$S_{k+1}$也是无限的。因此，当$k\\rightarrow \\infty$时，$S_k$要么是有限的，要么是无穷大的。因为$\\sum\\limits_{n=1}^{\\infty}P(E_n)=\\infty$，所以对于$k\\rightarrow \\infty$时，$P\\{E_{k+1}$出现$\\}=P\\{S_{k+1}-S_k=1\\}=\\dfrac{P\\{E_{k+1}$出现$\\}}{1-P\\{E_{k+1}$不出现$\\}}\\rightarrow 1$。这就表明了$\\{E_n\\}$无论如何发生的概率是0。

总结

本文主要讲述了Borel-Cantelli引理的两种不同的陈述方式及相关的证明。虽然Borel-Cantelli引理是一个古老的概率论引理，但是它在现代概率论中经常被引用，并且在很多领域都有着广泛的应用。因此，了解Borel-Cantelli引理的相关内容也是概率论学习中非常重要的一部分。